| 1. | The Borel functional calculus extends to unbounded self-adjoint operators on a Hilbert space.
Le calcul fonctionnel borélien peut être étendu aux opérateurs auto-adjoints non bornés d'un espace de Hilbert. |
| 2. | The assumption will be applied in its entirety in showing the homomorphism property of the functional calculus.
La condition complète ne sera utilisée que pour démontrer que le calcul fonctionnel est un homomorphisme. |
| 3. | A holomorphic functional calculus can be defined in a similar fashion for unbounded closed operators with non-empty resolvent set.
Un calcul fonctionnel holomorphe analogue peut être défini pour tous les opérateurs fermés non bornés dont l'ensemble résolvant est non-vide. |
| 4. | VTf V* is the unique positive square root of M*M, as given by the Borel functional calculus for self adjoint operators.
VTf V* est l'unique racine positive de M*M, donnée par l'analyse fonctionnelle de Borel, pour les opérateurs auto-adjoints. |
| 5. | If the spectrum σ(T) is not connected, X can be decomposed into invariant subspaces of T using the functional calculus.
Si le spectre σ(T) n'est pas connexe, X peut se décomposer en sous-espaces invariants par T en utilisant le calcul fonctionnel. |
| 6. | The formula shows (z1−T)−1 and (z2−T)−1 commute, which hints at the fact that the image of the functional calculus will be a commutative algebra.
Elle montre que (z1 − T)−1 et (z2 − T)−1 commutent ; on s'attend donc à ce que les opérateurs construits par le calcul fonctionnel holomorphe commutent également. |
| 7. | They are more general than bounded operators, and therefore not necessarily continuous, but they still retain nice enough properties that one can define the spectrum and (with certain assumptions) functional calculus for such operators.
Ils ne sont donc pas nécessairement continus, mais il leur reste suffisamment de bonnes propriétés pour qu'on puisse définir pour eux le spectre et (sous certaines hypothèses) un calcul fonctionnel. |
| 8. | Similarly, the continuous functional calculus holds for normal elements in any C*-algebra and the measurable functional calculus for normal elements in any von Neumann algebra.
De même que le calcul fonctionnel holomorphe peut être étendu à des éléments quelconques d'une algèbre de Banach, le calcul fonctionnel continu s'étend à tous les éléments normaux d'une C*-algèbre, et le calcul fonctionnel borélien à tous les éléments normaux d'une algèbre de von Neumann. |
| 9. | Similarly, the continuous functional calculus holds for normal elements in any C*-algebra and the measurable functional calculus for normal elements in any von Neumann algebra.
De même que le calcul fonctionnel holomorphe peut être étendu à des éléments quelconques d'une algèbre de Banach, le calcul fonctionnel continu s'étend à tous les éléments normaux d'une C*-algèbre, et le calcul fonctionnel borélien à tous les éléments normaux d'une algèbre de von Neumann. |
| 10. | Assuming this Banach space-valued integral is appropriately defined, this proposed functional calculus implies the following necessary conditions: As the scalar version of Cauchy's integral formula applies to holomorphic f, we anticipate that is also the case for the Banach space case, where there should be a suitable notion of holomorphy for functions taking values in the Banach space L(X).
Admettant que cette intégrale ait été définie, ce calcul fonctionnel implique les conditions nécessaires suivantes : La formule de Cauchy s'appliquant à des fonctions holomorphes f, une notion convenable d'holomorphie doit être définie pour des fonctions prenant leurs valeurs dans l'espace de Banach L(X). |
